Здравствуйте Сергей. Заявление об увольнении по собственному желанию вы можете направить (передать) работодателю находясь на больничном. Период вашей болезни будет включен в период предупреждения об увольнении (отработки). Относительно того обязаны ли вы отрабатывать, поясняем, что если состояние здоровья препятствует вашей работе, то работодатель обязан расторгнуть с вами трудовой договор в срок, указанный в вашем заявлении, однако вы обязаны представить доказательства того, что ваша болезнь препятствует тому, чтобы вы работали. Спасибо за обращение и всего Вам доброго.