Да должны. Важен сам факт вашей регистрации в жилом помещении, которое признано аварийным. Справедливости ради отметим, что в случае обращения ЖКХ в суд с исковым заявлением о взыскании задолженности, вы вправе заявить ходатайство о пропуске срока исковой давности и тем самым вас, с большей долей вероятности, будет взыскана задолженность не за 16 лет, а за последние 3 года. Всего доброго.