Здравствуйте, Наталья. Да могут, если вы работали за сотрудника, находящегося в декретном отпуске и т.д. Для объективной оценки ситуации предоставленной вами информации не достаточно. Вы можете обратиться к юристам по месту жительства на очную консультацию, предоставив более подробную информацию по вопросу и срочный трудовой договор, для изучения и возможности рассмотрения вариантов "оставления на работе". Всего доброго.