Здравствуйте, Сергей.

Во-первых, судя по содержанию Вашего вопроса, в данном случае Вами был заключён не договор аренды квартиры, а договор найма жилого помещения, отношения по которому регулируются статьями 671-688 Гражданского кодекса РФ (часть вторую ГК РФ, содержащую эти статьи, нетрудно найти в поисковых системах интернета). Неправильное название договора при этом не влияет на его содержание.

Во-вторых, договоры должны исполняться сторонами, между которыми они заключены. И если Вы пошли на подписание договора, содержащую норму, которую Вы приводите в своём вопросе, то должны выполнять и требования другой стороны договора, вытекающие из содержания этой нормы, - то есть выплачивать предъявленный Вам хозяйкой квартиры штраф. При этом семейные обстоятельства, указанные в Вашем вопросе, не могут свидетельствовать об отсутствии Вашей вины в нарушении договора.

Что же касается компенсации Вами хозяйке квартиры ущерба, причинённого ей досрочным прекращением по Вашей инициативе данного договора, то Вам нужно уточнить у хозяйки, какой именно ущерб она имеет в виду и как определяет его сумму, а в дальнейшем действовать в зависимости от содержания её ответа. Не исключено, что в данном случае речь идёт об упущенной выгоде, т.е. о доходах, которые хозяйка квартиры могла бы получить, если бы действие данного договора продолжалось, – однако это всего лишь предположение.

Всего доброго.