Здравствуйте, Александр.

Описанная Вами ситуация не так однозначна, как кажется на первый взгляд.

Согласно статье 1079 Гражданского кодекса РФ, владельцы источников повышенной опасности, к числу которых относятся также транспортные средства, обязаны причинять вред, причинённый этими источниками даже при отсутствии своей вины, если этот вред не возник вследствие непреодолимой силы или умысла потерпевшего.

Кроме того, ознакомьтесь с содержанием статей 1083 и 1064 ГК РФ:

Статья 1083. Учет вины потерпевшего и имущественного положения лица, причинившего вред

1. Вред, возникший вследствие умысла потерпевшего, возмещению не подлежит.

2. Если грубая неосторожность самого потерпевшего содействовала возникновению или увеличению вреда, в зависимости от степени вины потерпевшего и причинителя вреда размер возмещения должен быть уменьшен.

При грубой неосторожности потерпевшего и отсутствии вины причинителя вреда в случаях, когда его ответственность наступает независимо от вины, размер возмещения должен быть уменьшен или в возмещении вреда может быть отказано, если законом не предусмотрено иное. При причинении вреда жизни или здоровью гражданина отказ в возмещении вреда не допускается.

Вина потерпевшего не учитывается при возмещении дополнительных расходов (пункт 1 статьи 1085), при возмещении вреда в связи со смертью кормильца (статья 1089), а также при возмещении расходов на погребение (статья 1094).

3. Суд может уменьшить размер возмещения вреда, причиненного гражданином, с учетом его имущественного положения, за исключением случаев, когда вред причинен действиями, совершенными умышленно.

Статья 1064. Общие основания ответственности за причинение вреда

1. Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.

…3. Вред, причиненный правомерными действиями, подлежит возмещению в случаях, предусмотренных законом.

Сложность юридической квалификации описанной Вами ситуации состоит как раз в том, что в данном случае произошло взаимодействие двух источников повышенной опасности (велосипед как транспортное средство тоже относится к их числу) и в шаткости доказательственной базы (как я понял, сотрудники ГИБДД на место происшествия не вызывались, в связи с чем отсутствуют документы, подтверждающие степень виновности в ДТП обоих его участников; в этом случае уровень такой виновности может определяться лишь на основании показаний самих участников данного ДТП и его очевидцев – если последние присутствовали).

С учётом изложенного, я на Вашем месте отказался бы от добровольной оплаты предъявленной Вам суммы 20 000 руб. предложил бы отцу детей разрешить данный спор в судебном порядке.

Я вовсе не уверен, что после такого предложения последует обращение в суд с исковым заявлением о возмещении Вами вреда, причинённого в результате названного выше ДТП, но даже если оно и последует, у Вас будут (исходя из Вашего его описания) неплохие шансы добиться отказа суда в удовлетворении этого иска.

Всего доброго.